Capítulo 3, versión 3. Matemáticas y Mecánica
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Capítulo 3
MATEMÁTICAS Y MECÁNICA.
El geómetra griego Euclides es el más notable iniciador. Dice cosas evidentes (Los 5 postulados de Euclides, buscar) como que por dos puntos pasa una recta y sólo una. Es muy interesante observar como a partir de unas pocas premisas, puede levantarse toda una teoría de la geometría con una gran cantidad de teoremas. Tales premisas, llamadas “los postulados de Euclides” permitieron formular en forma sistemática toda la geometría. Aprendieron a demostrar teoremas y así construyerosn toda una teoría compatible. Pero la geometría no fué sólo una teoría especulativa, sino que permitía construir figuras con el auxilio de regla y compás. También fue muy útil para la construcción de edificios y monumentos. Aún hoy día se siguen demostrando teoremas. la geometría de Euclides es la que se continúa estudiando en las escuelas actuales. Fue un precursor del método deductivo y de la CIENCIA.
3.1.2-El quinto postulado de Euclides
En la escuela nos enseñan que por un punto exterior a una recta pasa una paralela y solo una. En realidad hay varias formulaciones del quinto postulado, y esa es la que más se usa. Este postulado dio mucho que hablar e hizo avanzar mucho estos conocimientos.
Muchos buscaron una demostración al quinto postulado pero no la encontraron. A la larga quedo consagrado como POSTULADO. Otros matemáticos se pusieron a investigar que pasaba negándolo. Uno dijo: “Dos paralelas se cortan en dos puntos”
y con eso creo otra geometria llamada geometría esférica, que para el caso de una esfera muy grande coincide con la geometría euclidea (Es un tema muy interesante para los que tienen vocación: Verlo en libros o wikipedia para tomar contacto con el tema.
2.1.3-La verdad está relacionada a la escala.
¿Qué es un plano? Es por ejemplo la superficie de un espejo de agua quieta como una pileta de natación. ¿Estás de acuerdo?. Bueno, estrictamente hablando eso es un error pues es una porción de una superficie esférica como lo es la tierra. O sea que muchas veces la verdad y la mentira depende de la escala y los efectos prácticos buscados. En la escala de mi casa, le daría un premio al albañil que puede puede hacer el piso del living tan plano como un espejo de agua!.
Otra: si uno traza en su cuaderno sobre la mesa, dibuja un par de paralelas perfectas y dice “estos son dos meridianos terrestres”. Se las ve como dos paralelas perfectas, y sin embargo se cortan dos veces, una en el polo norte y otra en el polo sur. Si una hace volar a una mosca por unas de esas “rectas” a la larga verá aparecer la mosca por la otra punta del segmento que pude dibujar en el cuaderno!!!.
Quise mostrar con ejemplos la importancia de la escala y la diferencia entre la visión práctica y teórica. Ojo con esto, pues muchas veces el concepto de verdad o mentira está relacionado con la escala.
3.1.4-Aritmética:
Con el concepto de número también se logró deducir la teoría aritmética en el mundo griego. Primero se estudió el número entero y con la idea elemental de suma se elaboraron los conceptos de las otras operaciones. Incluyendo los conceptos de número primo, de MCD y MCM se tejió una estructura deductiva fenomenal. Luego a partir del renacimiento científico se tomaron tales conceptos y se desarrollaron en base a las necesidades que imponía la física y la incipiente tecnología. Aún hoy esos conceptos siguen rindiendo sus frutos, y se sigue trabajando sobre ellos. Nada de lo que se hace en matemáticas es inútil. A veces se ha desarrollado nuevos conceptos matemáticos por necesidades de la física. Pero la matemáticas avanza como una entidad autónoma, generando nuevas ideas que muchas veces fueron luego requeridos por las ciencias naturales.
3.1.5-Los números.
Hemos aceptado el concepto de número abstracto haciéndolo independiente de que objetos estamos contando. Desde muy chicos hemos entendido sin dificultad que el uso y operación con los números es una entidad independiente ya sea que lo aplicamos a las flores o a los hipopótamos. Así los números naturales nos permiten contar y sumar lo que sea. El problema viene cuando aprendimos a restar, pues siempre está el vivo que quiere sacar más de lo que tiene!. Loa astutos inventaron allí el número negativo y se arregló todo. Incluyendo estos los llamamos “enteros”.
Luego aprendimos a multiplicar para ahorrarnos el trabajo de sumar tanto. El problema viene cuando aprendimos a dividir: si 5x6= 30 entonces 30/5 = 6, Facil. Pero el problema vino un día que juntamos 32 manzanas para repartirla ente 5!! Gran lío pues tuvimos que aprender a partir las manzanas. La pesadilla de las maestras cuando tienen que enseñarles las fracciones a los chicos. El misterio de como explicar la suma y el producto de fracciones a los chicos, tiene a maltraer a los expertos.
Pero hay algo peor: cuando hay que explicar que el diámetro entra 3,1416 veces en la circunferencia. Es un número llamadop “real” y no hay forma de expresarlo en forma exacta, y por ese motivo tuvieron que llamarlo PI que lo representa conceptualmente.
3.1.6-Concepto de variable, función y derivada.
Por ejemplo la temperatura en el día de hoy es una variable que depende de la hora en que la mido. Se puede decir que la temperatura es una variable en función del tiempo. Otro ejemplo: Si un coche dado, va a mar del plata puedo afirmar que su velocidad es una función de la indicación de KM. Puedo hacer un gráfico con un eje horizontal que me indique el kilometraje y otro vertical que me indique la velocidad. Entonces se dice que la velocidad es función del kilometraje (o distancia recorrida). Creo que pueden encontrar muchas otras funciones. Los que estudien carreras científicas tendrán mucho que ver con las funciones y su tratamiento matemático. En el primer ejemplo, a alguien se le puede ocurrir ver cuanto varió la temperatura desde la 1 a las 2 de la tarde. supongamos que varió 2 grados. Entonces se puede decir que la temperatura estuvo variando a razón de 2 grados por hora. El concepto fundamental es el de “derivada”. Peude decirse que la derivada de esa curva es en ese momento de 2 grados por hora. Pero lo importante es observar que los intervalos de tiempo pueden hacerse muy chicos, tanto como un milésismo de segundo, De todos modos el cociente entre números muy pequeños (en este caso incremento de la temperatura e incremento del tiempo) segurá dando aproximadamente 2 grados por hora. ¿Se habrá entendido? buscar.
La física con la significación moderna recién se comenzó a elaborar en los siglos 16 y 17. No es que antes no se sabía nada del mundo físico, sino que los conocimientos eran aislados y poco estructurados. Uno de los primeros temas estudiados sistemáticamente fueron los relativos a los cuerpos celestes. Primero a simple vista. Luego, gracias al desarrollo de los telescopios se pudo observar los astros cercanos y su movimientos. Se supo definir y distinguir bien los planetas cercanos de otros astros.
3.2.2-Un gran éxito científico:
Fue poner al sol como centro del sistema planetario y aclarar que la tierra era un planeta más, contrario a la teoría oficial de esa época. Esta estaba avalada por las teorías religiosas provenientes en Europa de la construcción judeo-cristiana engrosada por otros pensadores anteriores. La teoría geocéntrica había logrado compatibilizar con las de algunos pensadores griegos, básicamente con todo lo aristotélico. Tal cosmovisión era más bien filosófica y no científica, pues la base de la ciencia es la experimentación haciendo uso de buenas técnicas de medición y registros. Los griegos casi no hicieron ciencia experimental y por lo tanto sus bases fueron muy endebles. Salvo en matemáticas basada en la lógica, que a su vez parte de la filosofía,
3.2.3-La ciencia siempre prefiere la explicación más sencilla
Si imaginamos a la tierra como centro del sistema, los planetas tienen movimientos complejos. A veces giran en el sentido contrario al giro principal. Poner al sol en el centro simplificó todo. El trabajo matemático se hizo sencillo y muy convincente para explicar bien los movimientos. Siempre los científicos prefieren las fórmulas simples. Con la teoría heliocéntrica los movimientos de los planetas se hacen casi circulares (elipses apenas excéntricas).
Siempre, en todos los campos de la ciencia, se sigue buscando fórmulas más simples y generales. En ese proceso muchas veces se han encontrado mejores explicaciones que las anteriores. Encontrar soluciones más simples que respondan bien a la descripción de los fenómenos produce además, una gran satisfacción. Los científicos no son los que crearon el dicho: “porque la vamos a hacer simple si la podemos hacer complicada”
Es básicamente el método de las ciencias. Consiste en estudiar los hechos particulares: como cae una piedra, una hoja o un globo. Como se quema una madera. como se reflejan las cosas en un espejo. Como se mueve Venus observado con el telescopio, etc, etc. La ciencia observa y si puede, experimenta (reproduce los fenómenos en el laboratorio) con estos fenómenos particulares. Se registra todo sistemáticamente para luego analizarlos, y sacar conclusiones. Es muy importante medir bien, no dejarse engañar por las apariencias. Cualquier experimentador (u observador) debe medir lo mismo. Muchas veces los datos permiten formular las hipótesis y las teorías generales. Ese es el método inductivo: observar muchos hechos o comportamientos particulares y observar que todos se comportan de determinada manera, generalmente expresables en fórmulas matemáticas.
3.3.2-Ejemplo de la caída de los cuerpos:
Hagamos un ejemplo: un experimentador tira una piedra de un metro de altura y mide el tiempo que tarda en caer, t1. Luego la tira desde 4 (que es 2x2) metros de altura y observa que el tiempo t2 es el doble de t1. luego la tira de 9 (que es 3x3) metros y mide un tiempo triple. Así puede medir con muchas alturas y siempre se cumple que el espacio es proporcional al cuadrado del tiempo!!!! Así se obtiene la teoría de que el espacio recorrido es proporcional al cuadrado del tiempo. Normalmente eso se expresa por la fórmula e=K(txt) donde e es el espacio recorrido, t el tiempo que tarda, y K una constate de proporcionalidad que depende de las unidades usadas para medir el espacio y el tiempo.
La ley de gravedad se induce de muchas pruebas hechas en ese sentido. Luego de otros estudios más avanzados se llega a “ley de gravitación universal”
3.3.3-La falsación.
Es el proceso de buscar y encontrar un caso particular que contradiga una teoría. Eso simplemente la destruiría. Es un proceso muy discutido: A veces se cree encontrar hechos que hacen falsa a una teoría que puede resultar en malas interpretaciones. En Matemáticas las hipótesis no demostradas se llaman conjeturas, por ejemplo durante muchos años existía la conjetura de los 4 colores como mínimo suficiente para pintar las provincias de un país (Buscar). Hoy se ha probado.
3.3.4-Sin embargo, la inducción tiene objeciones:
La realidad es que los hechos que muestran una hipótesis siempre son parciales. Si decimos “Todos los hombres son mortales” nos estamos arriesgando a equivocarnos pues no sabemos a ciencia absolutamente cierta si podrá existir en el futuro algún hombre inmortal. Pero a pesar de este inconveniente podemos razonar muy bien en torno a inducciones incompletas. Por ejemplo: todos aceptamos en forma absoluta que ningún hombre puede volar con el simple expediente de agitar sus brazos. y eso lo tomamos como correcto aun cuando podemos hacer muchas más pruebas. Además siempre podemos hacer otras consideraciones que nos dejan muy tranquilos de no habernos equivocado.
3.3.5-Observación y experimentación.
La observación se empleó más en la antigüedad, entre otras cuestiones, para observar los astros y otros fenómenos naturales. Cuando se lograron producir a voluntad los fenómenos, eso produjo un gran avance. Los instrumentos de medición son importantísimos para la nueva ciencia experimental. La posibilidad de producir lentes de buena calidad no sólo permitió la construcción del anteojo astronómico sino también observar el camino de los rayos de luz. Hubo una época en que la óptica progresó muchísimo y logro creaciones geniales como la cámara fotográficas y el microscopio, el que amplió mucho el campo de la ciencia.
3.4.1-Peso y masa:
El peso lo medimos en Kilogramos y la masa también, pero no es lo mismo. El peso es la fuerza con que la tierra atrae un cuerpo. La masa es la cantidad de materia. Por ejemplo: los astronautas tenían la misma masa en la tierra que en la luna (o marte), pero diferente peso, pues la luna es mucho más chica y atrae con menos fuerza. Un salto son la misma fuerza muscular es bastante más pequeño en la tierra que en la luna. Al tener la propia luna menos masa, atrae menos a un hombre que la tierra. La masa de una dada substancia es algo así como la cantidad de partículas: en algunos casos, moléculas, en otros átomos: es la suma de los protones, más los neutrones, más los livianos electrones. Eso no depende si está en la tierra, la luna o Marte. También podemos decir que la masa para una substancia homogénea es proporcional a su volumen, en iguales condiciones de presión y temperatura. Veremos también que masa es la aceleración que adquiere cuando se lo somete a una fuerza en el vacío.
3.4.2-Se dice de Arquímides
Que el Rey le pidió que averiguara si la corona que le había hecho un orfebre era realmente de oro puro. El sabio pensó -debo saber el volumen de la corona pues sabemos que cada cm3 de oro pesa 19,3 g/cm3- Y si sabía el volumen y el peso podría saber su tiene la misma densidad que el oro. Entonces a Arquímides se le ocurrió sumergir la corona en una vasija llena hasta el borde con agua, y recoger el agua desplazada. Medir el volumen del agua es una tarea sencilla. Así pudo medir el volumen de la corona pues debía ser igual al del agua desplazada. Así comprobó que el orfebre estaba haciendo trampa.
3.4.2-El concepto de masa:
Fué necesario para explicar y entender el movimiento de los astros. Para calcular los movimientos de Marte, la Tierra o la Luna hay que usar el concepto de masa. El peso es una medida de los cuerpos sobre la superficie del planeta Tierra.
Pero ahora veamos la idea de fuerza. Pensá sobre la ideas que vos tenés. Un resorte estirado o comprimido ejerce una fuerza. Si lo estiramos al doble hace el doble de fuerza. Así cuando dejamos una masa (cualquier objeto) en caída libre, la tierra lo atrae con la fuerza de la gravedad.
3.4.3-¿Qué es la aceleración?
Es el aumento de la velocidad en una pequeña unidad de tiempo. Cuanto mayor es la fuerza aplicada a un cuerpo tanto mayor es la aceleración. La aceleración (a) también depende de la masa (m) (inversamente) Por eso a medida que más pesados son los vehículos, deben ponerle motores más grande, para que tengan la misma aceleración. La fuerza F = k . m . a es un producto donde k es constante y depende de las unidades usadas.
3.4.3-La ley universal de la gravedad:
La otra ecuación muy importante dice que F =K (m1 . m2 / d . d) m1 y m2 son las masas de dos cuerpos que se atraen, y d es la distancia entre sus centros. Las dos masas pueden ser: una piedra y la tierra; Jupiter y el sol,.... Todo par de masas sigue esa ley. Ojo: K es una constante de proporcionalidad que depende de las unidades usadas.
Con esas dos leyes (+ mucho estudio, mediciones y conocimientos) los físicos pudieron determinar con mucha exactitud el movimiento de los planetas. Newton desarrolló la teoría. Una construcción espléndida que abrió el camino de la mecánica con gran precisión, Pueden predecir donde se van a encontrar los astros con años de anticipación. Con estos cálculos los científicos lograron gran admiración y respeto. La ciencia impactó por su capacidad predictiva. Ojo, en magnitudes cosmológicas la relatividad de Einstein corrige la ley de Newton.
3.4.4-Energía mecánica:
El concepto de energía aparece en todos los capítulos de la física, por eso hay tantas unidades que la miden. La empresa de electricidad nos cobra energía eléctrica consumida: tantos Kilowatts-hora. Una famila puede gastar una energía eléctrica del orden de 3, 10 o más KW-hora por día. En mecánica, una fuerza da energía a un cuerpo cuando lo hace desplazar. El desplazamiento mecánico, venciendo resistencias, es un trabajo, que se mide, igual que la energía, como la sumatoria de los pequeños trabajos realizados en el total de los pequeños desplazamientos. Prácticamente la energía es el total del trabajo realizado en un recorrido, o en un intervalo. El producto de la fuerza constante por la distancia de desplazamiento es la energía que da la fuerza al vencer las resistencias al movimiento que adquiere tal objeto, más la energía de movimiento o cinética. La energía cinéticade un cuerpo de masa m es proporcional a su velocidad al CUADRADO.
Energía= ½.m.v.v, o sea que si duplicamos la velocidad, su energía se cuadruplica, y para explicar la fórmula se requiere un poco más de lo que hacemos aquí. Si un coche va siempre a la misma velocidad no aumenta su energía sino que toda la energía que le da el motor se gasta en vencer los obstáculos como la resistencia del aire.
3.4.5-La energía mecánica jamás se pierde sino que se transforma.
Un cuerpo de 1 Kg que está a 1 m de altura tiene una energía de 1 kilográmetro (Kgm) respecto del suelo donde cae. Pero si pesa 2 Kg su energía será de 2 Kgm. Si ahora ese peso lo elevamos otro metro más, su energía será de 4 Kgm O sea que la energia es el producto del peso del cuerpo por su altura. ¿Que pasa si ahora dejamos caer el cuerpo? El cuerpo al caer se rompe, o deforma o hace vibrar el piso. De esa manera el cuerpo transforma su energía en sonora, +de vibración, + de deformación, y finalmente toda va a parar a calor, porque el calor es otra forma de la energía que veremos más adelante!. Pero no nos damos cuenta porque es muy poco el calor generado. Si martillamos una piedra podemos ver que saltan chispas al rojo. Toda la energía del martillo al chocar la piedra se pierde en calor. La conservación de la energía, pasando siempre de una forma a otra, es un invariante a través de todas las ramas de la física. La ecuación de Einstein incorpora a la masa como una forma más de la energía. Lo veremos.
Hay muchos inventos truchos que muestran como obtener el movimiento perpetuo, como obtener energía de la nada. No los crean. Sería bueno que los podamos negar con argumentos científicos. No es posible crear energía de la nada!!
La ciencia necesita de la tecnología cada día más, y esta le provee cada vez aparatos más complejos con los cuales observar mejor los fenómenos. A su vez la ciencia descubre nuevos comportamientos de los materiales que permiten que la tecnología desarrolle todo tipo de dispositivos.
Muchos no tienen una clara conciencia de que la tecnología no hubiese podido desarrollarse sin la ciencia. Si uno ve la evolución del autómovil, del ferrocarril o el televisor, dicha conexión se observa mejor. Cada dispositivo puede desarrollarse si se entiende bien lo que uno quiere hacer y cómo hacerlo. Por ejemplo, miremos los medicamentos: casi ninguno de los actuales existía hace 100 años, pues no existía la ciencia adecuada para descubrirlos y desarrollarlos.
3.5.2-Desarrollo vs descubrimiento.
Continuamente van aparciendo nuevos descubrimientos. En realidad, ahora cada nuevo producto es el resultado del desarrollo más que un acto de iluminación. Por ejemplo, muchos pensaron ¡Qué bueno sría si el Televisosr fuera en colores! Entonce un ejército, primero de científicos, se pusieron a estudiar el problema y hacer experimentos, hasta que llega el momento que llegan a decir: “Se puede hacer la pantalla color, pero el problema tecnológico es este y este otro,... Entonces un ejército de tecnólogos, generalemente de empresas comerciales, se ponen a trabajar en en el tema. Lo mismo pasó con el televisor chato. O por ejemplo con una vacuna dada. Primero los científicos estudian el tema y luego los experimentadores, técnicos biológicos se ponen con la misión de fabricarla. También ocurre que los técnólogos pueden enfrentarse con cuestiones en las que requieren el auxilio de los teóricos científicos. El límite entre teóricos y experimentales es bastante difuso. El teórico trabaja más bien con los resultados de las experiencias y los trabajos de otros, pero a veces van al laboratorio. El tecnólogo a veces llega hasta las norma de fabricación. Y en las mismas fábricas suelen existir los departamentos técnicos que interactúan con los encargados de las lineas de producción.
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Trataré de dar algunas ideas de los términos usados dentro de la filosofía de las ciencias y luego daré mi opinión para discutir:
-Determinismo científico:
Es una postura supone que todas las cosas se pueden explicar y tienen una causa. Pero muchas veces no podemos porque es muy complejo. Si uno tuviera los elementos para saberlo todo el Azar no existe. Ejemplo 1 (uno entre muchísimos): Según esta creencia se podría saber cual va a ser la temperatura en cada instante en la ciudad de Buenos Aires, del día 23 de febrero del 2012 (faltan dos meses). Ejemplo 2: Es potencialmente posible determinar que día y a que hora va a nacer mi primer viznieto.
Se trata sin duda de una creencia pues no resiste la falsación. Ni siquiera nadie se va a animar a predecir la temperatura del 23 de febrero. y si alguien se anima seguramente va a errar.
-Principio de causalidad:
Emparentado con lo anterior, supone que todo lo que sucede en todos los terrenos, tiene una causa, aunque a veces, no la podamos determinar.
-Causa y efecto:
Es un concepto asociado a dos eventos que suceden en el tiempo. Generalmente el evento “causa” sucede antes que el evento “efecto”. A veces al evento “efecto” sucede necesariamente cuando sucede el evento “causa”. Otras veces es una cuestión de probabilidad. Otras veces, el evento “efecto” también puede tener otras cusas y también es una cuestión de probabilidades. Sobre todo en ciencias sociales.
EL DETERMINISMO COMO HIPÓTESIS DE TRABAJO
De hecho, las ciencias han avanzado mediante la suposición de que la realidad es determinable. Es lo que hacemos todos incluidos los científicos. Si uno escucha un ruido medio raro, puede dedicar su tiempo en averiguar de donde viene el ruido, pues piensa que se puede. Cuando Newton quiso saber bien como se movían los cuerpos, su hipotesis básica fue que era posible averiguarlo. Tanto en el caso vulgar como en el de la ciencia podemos o no, llegar al descubrimiento. Pero el determinismo no está probado. No dudamos de que siempre existirán eventos de los cuales no podremos saber sus causas.
Tanto en una cuestión científica o práctica me pueden preguntar porque las cosas son como son o como será tal cosa en el futuro. El hecho normal que el determinismo sea la hipótesis de trabajo NO implica que uno se ponga a investigar o averiguar el porqué de las cosas. En todos los casos se hará una evaluación previa, incluyendo todos los factores, incluido el conocimiento del involucrado. Tal vez este trabajo te puede ayudar a evaluar si encarar o no, una determinada investigación.
Capítulo 3
GALILEO GALILEI
Este gran hombre, nacido en Pisa, sentó las bases para lo que hoy conocemos como mecánica: el estudio del movimiento de los cuerpos. Fue un pionero en el uso del telescopio para la observación celeste: descubriendo los satélites de Júpiter, los cráteres de la Luna y las manchas solares.
A los 21 años, Galielo se encontraba un día muy aburrido en misa en la iglesia de su ciudad natal. En un momento especialmente monótono del sermón empezó a divagar, dando su atención a diferentes aspectos del edificio. Al fijarse en las lámparas notó que realizaban una oscilación que les llevaba el mismo tiempo sin importar si eran movimientos amplios o cortos; uso su pulso para corroborar esta idea. Tiempo después se valió de este principio para construir el primer reloj de péndulo.
Siempre corroboraba sus teorías mediante experimentos. Uno de los más conocidos es cuando dejó caer –desde la parte más alta de la Torre Inclinada de Pisa- una bala de cañón y una pequeña piedra para demostrar que todos los cuerpos caen con la misma aceleración, sin importar su peso. Desmintiendo las ideas de Artistóteles que prevalecieron por tanto tiempo.
Descubrimientos como estos y las ya mencionadas observaciones le dieron una gran fama a Galileo; más de la que le convino a final de cuentas. Cuando salió a la luz la Teoría Heliocéntrica, la iglesia recurrió a él para desmentirla pues contradecía su doctrina.
Tras dedicarse con gran esmero a esta tarea concluyó dos cosas: la Tierra se desplaza alrededor del Sol y el Solno es el centro del Universo, sólo es una de tantas estrellas. A la iglesia le salió el tiro por la culata al sólo conseguir una corroboración a la teoría que alejaba a nuestro planeta del ombligo del Cosmos.
Con la amenaza latente de la hoguera, se consiguió que Galileo se retractara de sus conclusiones –señalando que la Tierra no se desplaza alrededor del Sol- y tuviera que pasar el resto de sus días alejado de su amada labor científica. Aún así dejó para la posteridad su inmortal frase: “…y sin embargo se mueve”.
Capítulo 3
MATEMÁTICAS Y MECÁNICA.
UNA ANÉCDOTA SOBRE LOS GRANOS DE TRIGO.
Una antiquísima leyenda cuenta que Sheram, príncipe de la india, quedó tan maravillado cuando conoció el juego del ajedrez, que quiso recompensar generosamente a Sessa, el inventor de aquel entretenimiento. Le dijo: "Pídeme lo que quieras". Sessa le respondió: "Soberano, manda que me entreguen un grano de trigo por la primera casilla del tablero, dos por la segunda, cuatro por la tercera, ocho por la cuarta, y así sucesivamente hasta la casilla 64".
El príncipe no pudo complacerle, porque el resultado de esa operación S = 1 + 2 + 4 + ... + 263 es aproximadamente 18 trillones de granos. Para obtenerlos habría que sembrar la Tierra entera 65 veces.
Pulula por los círculos matemáticos un sorprendente final de la historia. Sheram, preocupado al haber empeñado su palabra, mandó llamar al matemático del reino, un tal Pepe Martínez Aroza, el cual razonó de la siguiente manera:
"Alteza, puesto que no tenéis trigo suficiente para pagar la deuda contraida con Sessa, igual os daría deberle aún más. Sed, pues, magnánimo y aumentad vuestra recompensa a la cantidad S = 1 + 2 + 4 + 8 + ... hasta el infinito. Observad que, a partir de la segunda casilla, todas las cantidades a sumar son pares, lo cual nos permite escribir S = 1 + 2 × ( 1 + 2 + 4 + 8 + ... ), o lo que es lo mismo, S = 1 + 2 × S. Ahora, vos mismo podéis resolver esta sencilla ecuación de primer grado y, veréis que la única solución es S = -1. Podéis decir a Sessa que no solamente puede considerarse pagado con creces, ya que habéis aumentado enormemente vuestra recompensa, sino que actualmente os adeuda un grano de trigo."
3.1-MATEMÁTICAS:
3.1.1-El método deductivo y la geometría.El geómetra griego Euclides es el más notable iniciador. Dice cosas evidentes (Los 5 postulados de Euclides, buscar) como que por dos puntos pasa una recta y sólo una. Es muy interesante observar como a partir de unas pocas premisas, puede levantarse toda una teoría de la geometría con una gran cantidad de teoremas. Tales premisas, llamadas “los postulados de Euclides” permitieron formular en forma sistemática toda la geometría. Aprendieron a demostrar teoremas y así construyerosn toda una teoría compatible. Pero la geometría no fué sólo una teoría especulativa, sino que permitía construir figuras con el auxilio de regla y compás. También fue muy útil para la construcción de edificios y monumentos. Aún hoy día se siguen demostrando teoremas. la geometría de Euclides es la que se continúa estudiando en las escuelas actuales. Fue un precursor del método deductivo y de la CIENCIA.
3.1.2-El quinto postulado de Euclides
En la escuela nos enseñan que por un punto exterior a una recta pasa una paralela y solo una. En realidad hay varias formulaciones del quinto postulado, y esa es la que más se usa. Este postulado dio mucho que hablar e hizo avanzar mucho estos conocimientos.
Muchos buscaron una demostración al quinto postulado pero no la encontraron. A la larga quedo consagrado como POSTULADO. Otros matemáticos se pusieron a investigar que pasaba negándolo. Uno dijo: “Dos paralelas se cortan en dos puntos”
y con eso creo otra geometria llamada geometría esférica, que para el caso de una esfera muy grande coincide con la geometría euclidea (Es un tema muy interesante para los que tienen vocación: Verlo en libros o wikipedia para tomar contacto con el tema.
2.1.3-La verdad está relacionada a la escala.
¿Qué es un plano? Es por ejemplo la superficie de un espejo de agua quieta como una pileta de natación. ¿Estás de acuerdo?. Bueno, estrictamente hablando eso es un error pues es una porción de una superficie esférica como lo es la tierra. O sea que muchas veces la verdad y la mentira depende de la escala y los efectos prácticos buscados. En la escala de mi casa, le daría un premio al albañil que puede puede hacer el piso del living tan plano como un espejo de agua!.
Otra: si uno traza en su cuaderno sobre la mesa, dibuja un par de paralelas perfectas y dice “estos son dos meridianos terrestres”. Se las ve como dos paralelas perfectas, y sin embargo se cortan dos veces, una en el polo norte y otra en el polo sur. Si una hace volar a una mosca por unas de esas “rectas” a la larga verá aparecer la mosca por la otra punta del segmento que pude dibujar en el cuaderno!!!.
Quise mostrar con ejemplos la importancia de la escala y la diferencia entre la visión práctica y teórica. Ojo con esto, pues muchas veces el concepto de verdad o mentira está relacionado con la escala.
3.1.4-Aritmética:
Con el concepto de número también se logró deducir la teoría aritmética en el mundo griego. Primero se estudió el número entero y con la idea elemental de suma se elaboraron los conceptos de las otras operaciones. Incluyendo los conceptos de número primo, de MCD y MCM se tejió una estructura deductiva fenomenal. Luego a partir del renacimiento científico se tomaron tales conceptos y se desarrollaron en base a las necesidades que imponía la física y la incipiente tecnología. Aún hoy esos conceptos siguen rindiendo sus frutos, y se sigue trabajando sobre ellos. Nada de lo que se hace en matemáticas es inútil. A veces se ha desarrollado nuevos conceptos matemáticos por necesidades de la física. Pero la matemáticas avanza como una entidad autónoma, generando nuevas ideas que muchas veces fueron luego requeridos por las ciencias naturales.
3.1.5-Los números.
Hemos aceptado el concepto de número abstracto haciéndolo independiente de que objetos estamos contando. Desde muy chicos hemos entendido sin dificultad que el uso y operación con los números es una entidad independiente ya sea que lo aplicamos a las flores o a los hipopótamos. Así los números naturales nos permiten contar y sumar lo que sea. El problema viene cuando aprendimos a restar, pues siempre está el vivo que quiere sacar más de lo que tiene!. Loa astutos inventaron allí el número negativo y se arregló todo. Incluyendo estos los llamamos “enteros”.
Luego aprendimos a multiplicar para ahorrarnos el trabajo de sumar tanto. El problema viene cuando aprendimos a dividir: si 5x6= 30 entonces 30/5 = 6, Facil. Pero el problema vino un día que juntamos 32 manzanas para repartirla ente 5!! Gran lío pues tuvimos que aprender a partir las manzanas. La pesadilla de las maestras cuando tienen que enseñarles las fracciones a los chicos. El misterio de como explicar la suma y el producto de fracciones a los chicos, tiene a maltraer a los expertos.
Pero hay algo peor: cuando hay que explicar que el diámetro entra 3,1416 veces en la circunferencia. Es un número llamadop “real” y no hay forma de expresarlo en forma exacta, y por ese motivo tuvieron que llamarlo PI que lo representa conceptualmente.
3.1.6-Concepto de variable, función y derivada.
Por ejemplo la temperatura en el día de hoy es una variable que depende de la hora en que la mido. Se puede decir que la temperatura es una variable en función del tiempo. Otro ejemplo: Si un coche dado, va a mar del plata puedo afirmar que su velocidad es una función de la indicación de KM. Puedo hacer un gráfico con un eje horizontal que me indique el kilometraje y otro vertical que me indique la velocidad. Entonces se dice que la velocidad es función del kilometraje (o distancia recorrida). Creo que pueden encontrar muchas otras funciones. Los que estudien carreras científicas tendrán mucho que ver con las funciones y su tratamiento matemático. En el primer ejemplo, a alguien se le puede ocurrir ver cuanto varió la temperatura desde la 1 a las 2 de la tarde. supongamos que varió 2 grados. Entonces se puede decir que la temperatura estuvo variando a razón de 2 grados por hora. El concepto fundamental es el de “derivada”. Peude decirse que la derivada de esa curva es en ese momento de 2 grados por hora. Pero lo importante es observar que los intervalos de tiempo pueden hacerse muy chicos, tanto como un milésismo de segundo, De todos modos el cociente entre números muy pequeños (en este caso incremento de la temperatura e incremento del tiempo) segurá dando aproximadamente 2 grados por hora. ¿Se habrá entendido? buscar.
3.2-LOS PRIMEROS PASOS EN LA MECÁNICA
3.2.1-Los cuerpos celestesLa física con la significación moderna recién se comenzó a elaborar en los siglos 16 y 17. No es que antes no se sabía nada del mundo físico, sino que los conocimientos eran aislados y poco estructurados. Uno de los primeros temas estudiados sistemáticamente fueron los relativos a los cuerpos celestes. Primero a simple vista. Luego, gracias al desarrollo de los telescopios se pudo observar los astros cercanos y su movimientos. Se supo definir y distinguir bien los planetas cercanos de otros astros.
3.2.2-Un gran éxito científico:
Fue poner al sol como centro del sistema planetario y aclarar que la tierra era un planeta más, contrario a la teoría oficial de esa época. Esta estaba avalada por las teorías religiosas provenientes en Europa de la construcción judeo-cristiana engrosada por otros pensadores anteriores. La teoría geocéntrica había logrado compatibilizar con las de algunos pensadores griegos, básicamente con todo lo aristotélico. Tal cosmovisión era más bien filosófica y no científica, pues la base de la ciencia es la experimentación haciendo uso de buenas técnicas de medición y registros. Los griegos casi no hicieron ciencia experimental y por lo tanto sus bases fueron muy endebles. Salvo en matemáticas basada en la lógica, que a su vez parte de la filosofía,
3.2.3-La ciencia siempre prefiere la explicación más sencilla
Si imaginamos a la tierra como centro del sistema, los planetas tienen movimientos complejos. A veces giran en el sentido contrario al giro principal. Poner al sol en el centro simplificó todo. El trabajo matemático se hizo sencillo y muy convincente para explicar bien los movimientos. Siempre los científicos prefieren las fórmulas simples. Con la teoría heliocéntrica los movimientos de los planetas se hacen casi circulares (elipses apenas excéntricas).
Siempre, en todos los campos de la ciencia, se sigue buscando fórmulas más simples y generales. En ese proceso muchas veces se han encontrado mejores explicaciones que las anteriores. Encontrar soluciones más simples que respondan bien a la descripción de los fenómenos produce además, una gran satisfacción. Los científicos no son los que crearon el dicho: “porque la vamos a hacer simple si la podemos hacer complicada”
3.3-LOS MÉTODOS CIENTÍFICOS Y LA MECÁNICA
3.3.1-El método inductivo.Es básicamente el método de las ciencias. Consiste en estudiar los hechos particulares: como cae una piedra, una hoja o un globo. Como se quema una madera. como se reflejan las cosas en un espejo. Como se mueve Venus observado con el telescopio, etc, etc. La ciencia observa y si puede, experimenta (reproduce los fenómenos en el laboratorio) con estos fenómenos particulares. Se registra todo sistemáticamente para luego analizarlos, y sacar conclusiones. Es muy importante medir bien, no dejarse engañar por las apariencias. Cualquier experimentador (u observador) debe medir lo mismo. Muchas veces los datos permiten formular las hipótesis y las teorías generales. Ese es el método inductivo: observar muchos hechos o comportamientos particulares y observar que todos se comportan de determinada manera, generalmente expresables en fórmulas matemáticas.
3.3.2-Ejemplo de la caída de los cuerpos:
Hagamos un ejemplo: un experimentador tira una piedra de un metro de altura y mide el tiempo que tarda en caer, t1. Luego la tira desde 4 (que es 2x2) metros de altura y observa que el tiempo t2 es el doble de t1. luego la tira de 9 (que es 3x3) metros y mide un tiempo triple. Así puede medir con muchas alturas y siempre se cumple que el espacio es proporcional al cuadrado del tiempo!!!! Así se obtiene la teoría de que el espacio recorrido es proporcional al cuadrado del tiempo. Normalmente eso se expresa por la fórmula e=K(txt) donde e es el espacio recorrido, t el tiempo que tarda, y K una constate de proporcionalidad que depende de las unidades usadas para medir el espacio y el tiempo.
La ley de gravedad se induce de muchas pruebas hechas en ese sentido. Luego de otros estudios más avanzados se llega a “ley de gravitación universal”
3.3.3-La falsación.
Es el proceso de buscar y encontrar un caso particular que contradiga una teoría. Eso simplemente la destruiría. Es un proceso muy discutido: A veces se cree encontrar hechos que hacen falsa a una teoría que puede resultar en malas interpretaciones. En Matemáticas las hipótesis no demostradas se llaman conjeturas, por ejemplo durante muchos años existía la conjetura de los 4 colores como mínimo suficiente para pintar las provincias de un país (Buscar). Hoy se ha probado.
3.3.4-Sin embargo, la inducción tiene objeciones:
La realidad es que los hechos que muestran una hipótesis siempre son parciales. Si decimos “Todos los hombres son mortales” nos estamos arriesgando a equivocarnos pues no sabemos a ciencia absolutamente cierta si podrá existir en el futuro algún hombre inmortal. Pero a pesar de este inconveniente podemos razonar muy bien en torno a inducciones incompletas. Por ejemplo: todos aceptamos en forma absoluta que ningún hombre puede volar con el simple expediente de agitar sus brazos. y eso lo tomamos como correcto aun cuando podemos hacer muchas más pruebas. Además siempre podemos hacer otras consideraciones que nos dejan muy tranquilos de no habernos equivocado.
3.3.5-Observación y experimentación.
La observación se empleó más en la antigüedad, entre otras cuestiones, para observar los astros y otros fenómenos naturales. Cuando se lograron producir a voluntad los fenómenos, eso produjo un gran avance. Los instrumentos de medición son importantísimos para la nueva ciencia experimental. La posibilidad de producir lentes de buena calidad no sólo permitió la construcción del anteojo astronómico sino también observar el camino de los rayos de luz. Hubo una época en que la óptica progresó muchísimo y logro creaciones geniales como la cámara fotográficas y el microscopio, el que amplió mucho el campo de la ciencia.
3.4-CONCEPTOS DE MASA Y ENERGIA
3.4.1-Peso y masa:
El peso lo medimos en Kilogramos y la masa también, pero no es lo mismo. El peso es la fuerza con que la tierra atrae un cuerpo. La masa es la cantidad de materia. Por ejemplo: los astronautas tenían la misma masa en la tierra que en la luna (o marte), pero diferente peso, pues la luna es mucho más chica y atrae con menos fuerza. Un salto son la misma fuerza muscular es bastante más pequeño en la tierra que en la luna. Al tener la propia luna menos masa, atrae menos a un hombre que la tierra. La masa de una dada substancia es algo así como la cantidad de partículas: en algunos casos, moléculas, en otros átomos: es la suma de los protones, más los neutrones, más los livianos electrones. Eso no depende si está en la tierra, la luna o Marte. También podemos decir que la masa para una substancia homogénea es proporcional a su volumen, en iguales condiciones de presión y temperatura. Veremos también que masa es la aceleración que adquiere cuando se lo somete a una fuerza en el vacío.
3.4.2-Se dice de Arquímides
Que el Rey le pidió que averiguara si la corona que le había hecho un orfebre era realmente de oro puro. El sabio pensó -debo saber el volumen de la corona pues sabemos que cada cm3 de oro pesa 19,3 g/cm3- Y si sabía el volumen y el peso podría saber su tiene la misma densidad que el oro. Entonces a Arquímides se le ocurrió sumergir la corona en una vasija llena hasta el borde con agua, y recoger el agua desplazada. Medir el volumen del agua es una tarea sencilla. Así pudo medir el volumen de la corona pues debía ser igual al del agua desplazada. Así comprobó que el orfebre estaba haciendo trampa.
3.4.2-El concepto de masa:
Fué necesario para explicar y entender el movimiento de los astros. Para calcular los movimientos de Marte, la Tierra o la Luna hay que usar el concepto de masa. El peso es una medida de los cuerpos sobre la superficie del planeta Tierra.
Pero ahora veamos la idea de fuerza. Pensá sobre la ideas que vos tenés. Un resorte estirado o comprimido ejerce una fuerza. Si lo estiramos al doble hace el doble de fuerza. Así cuando dejamos una masa (cualquier objeto) en caída libre, la tierra lo atrae con la fuerza de la gravedad.
3.4.3-¿Qué es la aceleración?
Es el aumento de la velocidad en una pequeña unidad de tiempo. Cuanto mayor es la fuerza aplicada a un cuerpo tanto mayor es la aceleración. La aceleración (a) también depende de la masa (m) (inversamente) Por eso a medida que más pesados son los vehículos, deben ponerle motores más grande, para que tengan la misma aceleración. La fuerza F = k . m . a es un producto donde k es constante y depende de las unidades usadas.
3.4.3-La ley universal de la gravedad:
La otra ecuación muy importante dice que F =K (m1 . m2 / d . d) m1 y m2 son las masas de dos cuerpos que se atraen, y d es la distancia entre sus centros. Las dos masas pueden ser: una piedra y la tierra; Jupiter y el sol,.... Todo par de masas sigue esa ley. Ojo: K es una constante de proporcionalidad que depende de las unidades usadas.
Con esas dos leyes (+ mucho estudio, mediciones y conocimientos) los físicos pudieron determinar con mucha exactitud el movimiento de los planetas. Newton desarrolló la teoría. Una construcción espléndida que abrió el camino de la mecánica con gran precisión, Pueden predecir donde se van a encontrar los astros con años de anticipación. Con estos cálculos los científicos lograron gran admiración y respeto. La ciencia impactó por su capacidad predictiva. Ojo, en magnitudes cosmológicas la relatividad de Einstein corrige la ley de Newton.
3.4.4-Energía mecánica:
El concepto de energía aparece en todos los capítulos de la física, por eso hay tantas unidades que la miden. La empresa de electricidad nos cobra energía eléctrica consumida: tantos Kilowatts-hora. Una famila puede gastar una energía eléctrica del orden de 3, 10 o más KW-hora por día. En mecánica, una fuerza da energía a un cuerpo cuando lo hace desplazar. El desplazamiento mecánico, venciendo resistencias, es un trabajo, que se mide, igual que la energía, como la sumatoria de los pequeños trabajos realizados en el total de los pequeños desplazamientos. Prácticamente la energía es el total del trabajo realizado en un recorrido, o en un intervalo. El producto de la fuerza constante por la distancia de desplazamiento es la energía que da la fuerza al vencer las resistencias al movimiento que adquiere tal objeto, más la energía de movimiento o cinética. La energía cinéticade un cuerpo de masa m es proporcional a su velocidad al CUADRADO.
Energía= ½.m.v.v, o sea que si duplicamos la velocidad, su energía se cuadruplica, y para explicar la fórmula se requiere un poco más de lo que hacemos aquí. Si un coche va siempre a la misma velocidad no aumenta su energía sino que toda la energía que le da el motor se gasta en vencer los obstáculos como la resistencia del aire.
3.4.5-La energía mecánica jamás se pierde sino que se transforma.
Un cuerpo de 1 Kg que está a 1 m de altura tiene una energía de 1 kilográmetro (Kgm) respecto del suelo donde cae. Pero si pesa 2 Kg su energía será de 2 Kgm. Si ahora ese peso lo elevamos otro metro más, su energía será de 4 Kgm O sea que la energia es el producto del peso del cuerpo por su altura. ¿Que pasa si ahora dejamos caer el cuerpo? El cuerpo al caer se rompe, o deforma o hace vibrar el piso. De esa manera el cuerpo transforma su energía en sonora, +de vibración, + de deformación, y finalmente toda va a parar a calor, porque el calor es otra forma de la energía que veremos más adelante!. Pero no nos damos cuenta porque es muy poco el calor generado. Si martillamos una piedra podemos ver que saltan chispas al rojo. Toda la energía del martillo al chocar la piedra se pierde en calor. La conservación de la energía, pasando siempre de una forma a otra, es un invariante a través de todas las ramas de la física. La ecuación de Einstein incorpora a la masa como una forma más de la energía. Lo veremos.
Hay muchos inventos truchos que muestran como obtener el movimiento perpetuo, como obtener energía de la nada. No los crean. Sería bueno que los podamos negar con argumentos científicos. No es posible crear energía de la nada!!
3.5-CIENCIA Y TECNOLOGÍA EN AYUDA MUTUA:
3.5.1-Vemos cómo la ciencia y la tecnología se ayudan mutuamente.La ciencia necesita de la tecnología cada día más, y esta le provee cada vez aparatos más complejos con los cuales observar mejor los fenómenos. A su vez la ciencia descubre nuevos comportamientos de los materiales que permiten que la tecnología desarrolle todo tipo de dispositivos.
Muchos no tienen una clara conciencia de que la tecnología no hubiese podido desarrollarse sin la ciencia. Si uno ve la evolución del autómovil, del ferrocarril o el televisor, dicha conexión se observa mejor. Cada dispositivo puede desarrollarse si se entiende bien lo que uno quiere hacer y cómo hacerlo. Por ejemplo, miremos los medicamentos: casi ninguno de los actuales existía hace 100 años, pues no existía la ciencia adecuada para descubrirlos y desarrollarlos.
3.5.2-Desarrollo vs descubrimiento.
Continuamente van aparciendo nuevos descubrimientos. En realidad, ahora cada nuevo producto es el resultado del desarrollo más que un acto de iluminación. Por ejemplo, muchos pensaron ¡Qué bueno sría si el Televisosr fuera en colores! Entonce un ejército, primero de científicos, se pusieron a estudiar el problema y hacer experimentos, hasta que llega el momento que llegan a decir: “Se puede hacer la pantalla color, pero el problema tecnológico es este y este otro,... Entonces un ejército de tecnólogos, generalemente de empresas comerciales, se ponen a trabajar en en el tema. Lo mismo pasó con el televisor chato. O por ejemplo con una vacuna dada. Primero los científicos estudian el tema y luego los experimentadores, técnicos biológicos se ponen con la misión de fabricarla. También ocurre que los técnólogos pueden enfrentarse con cuestiones en las que requieren el auxilio de los teóricos científicos. El límite entre teóricos y experimentales es bastante difuso. El teórico trabaja más bien con los resultados de las experiencias y los trabajos de otros, pero a veces van al laboratorio. El tecnólogo a veces llega hasta las norma de fabricación. Y en las mismas fábricas suelen existir los departamentos técnicos que interactúan con los encargados de las lineas de producción.
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¿QUE ES EL DETERMINISMO?
Trataré de dar algunas ideas de los términos usados dentro de la filosofía de las ciencias y luego daré mi opinión para discutir:
-Determinismo científico:
Es una postura supone que todas las cosas se pueden explicar y tienen una causa. Pero muchas veces no podemos porque es muy complejo. Si uno tuviera los elementos para saberlo todo el Azar no existe. Ejemplo 1 (uno entre muchísimos): Según esta creencia se podría saber cual va a ser la temperatura en cada instante en la ciudad de Buenos Aires, del día 23 de febrero del 2012 (faltan dos meses). Ejemplo 2: Es potencialmente posible determinar que día y a que hora va a nacer mi primer viznieto.
Se trata sin duda de una creencia pues no resiste la falsación. Ni siquiera nadie se va a animar a predecir la temperatura del 23 de febrero. y si alguien se anima seguramente va a errar.
-Principio de causalidad:
Emparentado con lo anterior, supone que todo lo que sucede en todos los terrenos, tiene una causa, aunque a veces, no la podamos determinar.
-Causa y efecto:
Es un concepto asociado a dos eventos que suceden en el tiempo. Generalmente el evento “causa” sucede antes que el evento “efecto”. A veces al evento “efecto” sucede necesariamente cuando sucede el evento “causa”. Otras veces es una cuestión de probabilidad. Otras veces, el evento “efecto” también puede tener otras cusas y también es una cuestión de probabilidades. Sobre todo en ciencias sociales.
EL DETERMINISMO COMO HIPÓTESIS DE TRABAJO
De hecho, las ciencias han avanzado mediante la suposición de que la realidad es determinable. Es lo que hacemos todos incluidos los científicos. Si uno escucha un ruido medio raro, puede dedicar su tiempo en averiguar de donde viene el ruido, pues piensa que se puede. Cuando Newton quiso saber bien como se movían los cuerpos, su hipotesis básica fue que era posible averiguarlo. Tanto en el caso vulgar como en el de la ciencia podemos o no, llegar al descubrimiento. Pero el determinismo no está probado. No dudamos de que siempre existirán eventos de los cuales no podremos saber sus causas.
Tanto en una cuestión científica o práctica me pueden preguntar porque las cosas son como son o como será tal cosa en el futuro. El hecho normal que el determinismo sea la hipótesis de trabajo NO implica que uno se ponga a investigar o averiguar el porqué de las cosas. En todos los casos se hará una evaluación previa, incluyendo todos los factores, incluido el conocimiento del involucrado. Tal vez este trabajo te puede ayudar a evaluar si encarar o no, una determinada investigación.
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